清华团队 80 年来首次突破 Erdős 概率方法极限

2026 年 5 月，数学四大顶刊之一《Inventiones Mathematicae》刊发了一篇来自中国团队的论文，首次在近 80 年间对 Erdős 1947 年提出的概率方法给出指数级改进。作者为清华/中科大双聘教授马杰、清华博士生申武杰与中科大博士生谢晟捷。这项工作以「随机球图」取代 Erdős 的硬币着色，将一类近对角线 Ramsey 数的下界底数从黄金比例 (1+√5)/2 推进到 (1+√5)/2 + 10⁻²¹。同月，DeepMind 公开了 AlphaProof Nexus 战报，为理解人类原创与 AI 搜索在数学前沿的分工提供了鲜明对照。

一枚硬币扔了 80 年

Erdős 在 1947 年发明的概率方法奠定了概率组合学这门学科。其核心极为简洁：给完全图的每条边掷硬币，正面涂红、反面涂蓝，由此证明「任意足够大的完全图必包含某一大小的单色团」，并给出「足够大」的指数级下界。

80 年来，下界底数几乎纹丝未动，而上界持续被压缩——2023 年从上界 4 一口气压到约 3.7992。围绕 Erdős 这枚硬币，组合学家们一直在「把墙推得更高」，却少有人追问「有没有比硬币更好的锤子」。

从硬币到高维球面

申武杰 2024 年春偶然接触 Ramsey 数相关论文后开始思考：能否构造一种随机模型，比硬币着色更高效地生成无团着色？同年秋，他把这个想法带到清华访问授课的马杰面前，随后谢晟捷加入，三人花了一年完成证明。

新模型被称为「随机球图」：将 n 个节点随机撒在高维球面上，距离远的边涂红、近的涂蓝。核心洞察来自高维球面的反直觉几何特性——维度足够高时，几乎所有点都挤在赤道附近，任意两条径向线的夹角几乎一定接近 90 度。点对距离因此被压缩到一个很窄的区间，着色不再完全独立，而是被球面几何精确调控。

• 红色团需要很多节点彼此距离都远，受球面空间约束，难以形成；
• 蓝色团概率相应上升，但通过精细计算仍可被压制在容许范围；
• 数以万计的小规模实验显示，无团着色概率始终大于零，收益盖过代价。

指数级改进

以近对角线 Ramsey 数 r(k, 2k) 为例，Erdős 硬币给出的下界底数恰好是黄金比例 (1+√5)/2 ≈ 1.618。马杰、申武杰、谢晟捷把这一底数提升至 (1+√5)/2 + 10⁻²¹。

绝对值看起来微小，但 Ramsey 数按指数增长，底数哪怕只加 10⁻²¹，当 k 趋向无穷，新下界就会把旧下界远远甩开。更重要的是，他们证明了 Erdős 的硬币并非最优着色方案——随机球图在结构上严格优于纯随机着色，意味着概率方法的天花板远未触及。

需要指出的是，这一路径只在蓝色团大于红色团时有效；在 Erdős 最初关注的等大小对角线情形，新方法的收益会消失。

整个圈子的反应

论文 2025 年 7 月挂出 arXiv 不到一周，组合数学泰斗 Gil Kalai 在博客发文称其「具有相当的独立研究价值」。剑桥大学 Julian Sahasrabudhe 评论说：「一个熟悉的东西竟然能解决一个熟悉的问题，多少有点令人震惊。」2025 年 12 月，马杰 UCLA 时期的合作导师 Benny Sudakov 与学生进一步证明，换成高斯随机图同样有效，不再需要球面结构；2026 年初，又有人将其推广到多色 Ramsey 数。

AI 解题与人造武器

几乎在同一时间，DeepMind 公开了 AlphaProof Nexus 的完整战报：在 353 个 Erdős 开放问题中啃下 9 个，44 个 OEIS 猜想一并证明，全部经 Lean 形式化验证通过，其中两道题悬而未决已 56 年，每道题成本仅几百美元。系统由 Gemini 3.1 Pro 驱动 agentic loop，反复搜索证明路径直至形式验证器通过。

但正如陶哲轩所言，AI 是称职的助手而非同行——它善于在已知方法里扫描匹配，却不擅长提出原创方法。马杰团队做的事情截然不同：他们没有去解 Erdős 的某一道题，而是升级了 Erdős 发明的方法本身。一句话概括：AI 从 Erdős 的遗产里拆了 9 堵墙，三个中国人重铸了他最引以为傲的那把锤子。

在最需要创造性洞察的数学前沿，人类目前仍然不可替代——至少今天是这样。