Claude 未证黎曼猜想，却刷新 37 年数学纪录

Anthropic 一款尚未对外发布的 Claude 研究版本最近被安排去「认真尝试一下黎曼猜想」。它没有攻下这座悬而未决 167 年的数学高峰，但意外在另一项相关问题上取得了被数学界评价为「自 2013 年有界素数间距突破以来最重要的进展」——将黎曼 ζ 函数已知位于临界线上的零点比例下界，从 41.6% 一举提高至 67.2%。

黎曼猜想是什么，为什么重要

1859 年，德国数学家伯恩哈德・黎曼提出猜想：黎曼 ζ 函数的所有「非平凡零点」其实部都应等于 1/2，即全部落在复平面上的一条垂直线（临界线）上。这一猜想与素数分布深刻相连，是克雷数学研究所七大「千禧年难题」之一，完整证明或推翻均可获得 100 万美元奖金。

一百多年来，没有人能证明所有非平凡零点都位于临界线，但数学家可以证明其中一部分必然落在那里。于是衍生出一个现实问题：至少能证明多大比例的零点位于临界线上？经过几代数学家的努力，这个已知下界在过去逐渐被推进到约 41.6%。Claude 这次向前推进的，正是这个数字。

67.2% 是怎么得到的

Claude 的方法并非凭空出现，而是建立在已有数学工具之上：

• 1973 年 Hugh Montgomery 在 ζ 函数零点分布研究中引入的方法，以及近年来数学家们将其改造为「不预先假设黎曼猜想成立」的版本；
• Enrico Bombieri 在 2000 年前后发表的相关研究；
• Weil 诱导的二次型技术。

Claude 把这些工具以一种新的方式组合：先构造一个合适的函数空间，将位于临界线上的零点对应到正定方向，偏离临界线的零点对应到负定方向；再借助二次型秩与一阶、二阶矩之间的关系建立不等式，最终导出 67.2% 的下界。

Anthropic 内部数学家认为，一个关键区别在于 Claude 没有分别处理正定和负定部分，而是将整个空间放进同一框架分析，并允许二次型具有非对角结构。

需要指出的是，Anthropic 并没有声称这套技术可以继续推到 100%，也没有说 Claude 距离证明黎曼猜想只差 32.8%。67.2% 是相关问题上的下界改进，与黎曼猜想的完整证明之间仍存在巨大理论距离。

Claude 是如何找到这个结果的

据 Anthropic 披露，整个实验在两轮 Claude Code 会话中完成，总计消耗约 3100 万输出 Token。

• 第一轮：Claude 提出并尝试了约 650 个思路，全部失败。
• 第二轮（持续约一天半）：Claude 组织了约 60 个子 Agent，把问题拆成多个方向并行探索。这些 Agent 一共执行约 2400 次 Shell 命令，编写数百个 Python 脚本，并对已知 ζ 函数零点做了数千次数值检验；不同子 Agent 之间还会互相审阅结果。

出人意料的是，担任「指挥」的 Bun 创始人 Jarred Sumner 本人并非数学家，他在这一阶段几乎没有提供数学指导，主要只是不断告诉 Claude「继续」「再试试」「相信自己」。Anthropic 透露，Claude 一开始对自己能否在这样一个著名开放问题上取得进展相当怀疑，直到持续探索之后，新的下界才逐渐浮现。

验证、Lean 形式化与同行评议

找到结果后，Claude 启动了一轮自我验证：部分子 Agent 专门检查证明、部分寻找反例；并下载了 54 篇 arXiv 论文，确认类似结果未被其他数学家先行得到。随后，独立 Agent 又从头重新推导了一遍整个结果。确认无误后，Claude 主动建议整理成论文，并明确提出「应该找一位真正的数论专家进行人工验证」。

接下来的验证分几条线并行：

• Anthropic 内部数学家 Levent Alpöge 和 Ralph Furman 对论文进行了研究和验证；
• Claude 与 Anthropic 员工 Eric Easley 合作，把关键结果形式化为 Lean 证明，并通过标准验证工具 Comparator 的检查；
• 研究 ζ 函数的外部数学家 Brian Conrey 与 Dan Goldston 也对论文进行了审阅。

Menlo Ventures 合伙人、研究者 Deedy 在社交平台上评价：「Claude 这次的结果简直离谱，可能是自 2013 年有界素数间距突破以来，解析数论领域最重大的进展。它把能够严格证明位于临界线上的零点比例一口气提高了 25.6 个百分点，而在此前 37 年里，数学家们总共只把这个数字提高了 0.8 个百分点。」

Anthropic 强调，这套方法预计无法直接导向黎曼猜想的最终证明。但这次结果传递出一个值得关注的信号：前沿模型的数学能力，正在开始触及真正没有现成答案的研究问题。