Claude 将黎曼 ζ 函数零点比例下限推至 67.2%，数学家 37 年仅推进 0.8%

Anthropic 近日公开一项内部研究结果：Claude 在与「黎曼猜想」直接相关的一道开放数学问题上取得重大突破，将满足配对相关的黎曼 ζ 函数零点比例下限从 41.6% 提升至 67.2%。这一数字在过去 37 年中，人类数学家仅推进了 0.8%，而 Claude 一次性将纪录拉高了 25.6 个百分点。整篇论文由 Claude 独立完成，人类仅给出极简提示词——大多数时候只有两句话：「继续」和「你可以的，相信你自己。」

实验由 Anthropic 内部员工发起

推动这次研究的是 Jarred Sumner，Anthropic 员工、JavaScript 工具链 Bun 的缔造者。他没有参与论文中的数学推导，只是在 8 天前一次晨跑途中给 Claude 留了一个开放式命题：证明黎曼猜想。

第一次尝试中，Claude 一次性生成并测试了 650 个思路，全部失败。黎曼猜想由伯恩哈德·黎曼于 1859 年提出，是「七大千禧年难题」之一，克雷数学研究所为完整证明设置了 100 万美元奖金，167 年来无人能解。Claude 同样没能完成最终证明，但转向了一个关键的子问题：至少可以证明多大比例的零点位于临界线 Re(s)=1/2 上。

60 个子智能体协作，一天半完成推演

第二次尝试中，Claude 切换打法，自行拉起约 60 个子智能体，跑了整整一天半。各 Agent 分别负责不同的研究方向，编写程序、检验数值、阅读论文，并相互交叉验证结论。最终分工大致如下：

• 2 个 Agent 提出关键数学思路；
• 13 个 Agent 为上述思路提供外援与补充想法；
• 30 个 Agent 尝试后未得出有效结论；
• 13 个 Agent 担任验证员，专门挑推导中的错误；
• 最后 2 个 Agent 负责整合并撰写论文初稿。

两个核心思路由子 Agent E2 和 E2-pairs 提出，全部会话在 Claude Code 中完成，累计消耗约 3100 万输出 token，这一规模相当于人类数学家不间断书写数月。

数学意义：67.25% 改写了什么

Claude 攻克的并非黎曼猜想本身，而是其中一项可独立推进的中间结论。1973 年，Montgomery 在假设黎曼猜想成立的条件下，得到了简单零点比例的 2/3 下界。该推导的一侧可通过素数计算，另一侧则依赖黎曼猜想。此后多年，Baluyot、Goldston、Suriajaya、Turnage-Butterbaugh 等数学家陆续建立不依赖黎曼猜想的零点配对相关结果；Goldston 与 Suriajaya 提出，若能去掉 Montgomery 证明中剩余的黎曼猜想条件，2/3 这一比例即可无条件成立。Claude 正是补上了缺失的这一步。

具体而言，论文将 Weil 公式限制在有限维 Gabor 函数空间中，把原本的解析数论问题改写为 Hermitian 矩阵问题。临界线上的零点贡献正方向，临界线外的零点成对出现并贡献签名为 (1,1) 的二维块。Claude 用一条新的秩—迹不等式同时处理这两类贡献，再结合从素数一侧可计算的一阶矩和二阶矩，估计临界线上的零点数。最终可写为简洁公式 H(λ)=2−1/λ−λ/3，取 λ=1 得到 H(1)=2/3；使用 Montgomery—Taylor 最优窗函数后，比例进一步提升至 67.25%。

除了这个最醒目的数字，论文还在零点位置、重合情况以及方法适用范围等方面给出了一整组新结论。

AI 进入没有现成答案的开放数学研究

这项突破发生在一个更大的转折点上：AI 正在从有标准答案的竞赛题，走向没有现成答案的开放数学研究。2024 年，AlphaProof 与 AlphaGeometry 2 达到国际数学奥林匹克竞赛银牌水平；2025 年，通用大模型首次在该赛事达到金牌水准，但当时证明的仍是带标准答案的竞赛题。进入 2026 年，节奏明显加快：4 月，GPT-5.4 Pro 给出关键证明，解决了 Erdős 1966 年提出的第 1196 号问题；5 月，OpenAI 内部模型推翻了延续近 80 年的平面单位距离猜想；7 月，Claude 参与的「Claude Fable」找到三维反例，推翻了提出 87 年的 Jacobian 猜想；8 月 1 日，OpenAI 集中公布 10 项数学与理论计算机科学进展；9 天后，Anthropic 公开了这次的黎曼 ζ 函数相关结果。

黎曼猜想仍未被证明，但这已经不是故事里最重要的部分。两年前，人们还在用数学竞赛奖牌衡量 AI；如今，一篇作者栏写着 Claude 的论文，已经开始改写数学纪录。