Claude 联手数学家证伪百年 Carathéodory 猜想

困扰数学界超过 100 年的 Carathéodory 猜想，与相伴而生的 Loewner 指数猜想，被一次人机协作研究同时证伪。哈佛数学家 Levent Alpöge 联合 Anthropic 的 Claude，构造出一个具体且可验证的反例，直接击碎了这对困扰微分几何领域的「铁锁」。相关论文 PDF 在数学圈流传一周后已正式公开。

猜想内容与历史

Carathéodory 猜想由德国数学家 Hans Ludwig Hamburger 于 1924 年在微分几何研究中提出，并以他的博士导师、希腊数学家 Constantin Carathéodory 命名。猜想表述简洁：三维欧几里得空间中，任何凸的、闭合的、足够光滑的曲面，必定至少存在两个「脐点」。

脐点是指曲面上各方向弯曲程度完全相同的点——在微分几何中，两个主曲率相等，每个切向量都是主方向。球面每个点都是脐点，椭球有两个。一百年来，无数数学家尝试构造只有一个脐点的光滑凸体，无人成功。与之并行的 Loewner 猜想则进一步限定：孤立脐点的指数不超过 1。两个猜想相互支撑，共同锁住了微分几何一整片研究领地。

一个反例同时推翻两个猜想

Alpöge 与 John-Paul Smith 定义了一族函数 g_k，其中 k=2 时的 g₂ 作为球面支持函数，对应的凸体在原点处产生一个指数为 2 的脐点。这一构造的关键在于：

由于指数衰减项的存在，g₂ 在数学上保证 C∞ 无限次可微，满足 Carathéodory 猜想要求的一切光滑性条件；
整个凸体只存在 1 个脐点，直接违反 Carathéodory 猜想所要求的「至少 2 个」；
该脐点指数为 2，超出 Loewner 猜想上限 1，同样构成反例。

在数学中，证伪一个猜想只需一个反例；但找到那个反例，往往比证明猜想本身更难。

AI 成为数学家的「直觉补充器」

这不是 Alpöge 第一次借力 Claude。今年世界杯期间，他曾借助 Claude 提出三维雅可比猜想的反例，震动数学界。放眼更广的图景，过去数月 AI 在纯数学领域的表现密集涌现：

Claude 在黎曼猜想上将零点比例下限从 41.6% 提升到 67.2%，37 年间人类仅推进约 0.8 个百分点；
OpenAI 集中发布 10 项数学与理论计算机科学进展；
新晋菲尔兹奖得主宣布加入 OpenAI。

这些事件共同指向一个趋势：AI 不再只是数学家的计算器，而是正在演变为「直觉补充器」——在人类直觉失灵之处，以穷举与构造能力打开新路径。百年猜想被击碎，本身就是这种人机协作新范式的注脚；而下一个倒下的猜想，或许只是时间问题。