Fable 5 协助数学家证伪 85 年雅可比猜想

Anthropic 在职数学家 Levent Alpoge 近日宣布，借助公司大模型 Claude「Fable 5」找到一个具体反例，推翻了悬而未决 85 年的雅可比猜想。这一消息以一条推文的形式发布，迅速在数学圈与 AI 圈引发关注。

一条推文终结的悬案

雅可比猜想由德国数学家 Ott-Heinrich Keller 于 1939 年提出，长期位列最难解的代数几何问题之一，曾被列入斯梅尔「21 世纪数学问题」清单第 16 位，与黎曼猜想、Navier-Stokes 方程并列。85 年来，猜想以「假证明」数量众多而著称，维基百科词条甚至以免责声明式的语气描述这一「臭名昭著」性。

7 月中旬，Alpoge 在 X 平台发布了一条只有寥寥数行的推文，先以「hello there」开场，随后写道：「雅可比猜想是错的。」他随后贴出一个从 C³ 到 C³ 的多项式映射，其雅可比行列式恒等于常数 -2，却把三个不同的点 (0, 0, -1/4)、(1, -3/2, 13/2) 和 (-1, 3/2, 13/2) 同时映射到同一个像 (-1/4, 0, 0)。他在推文末尾感谢了两位「好朋友」：一位是「问起这件事的 akhil」，即芝加哥大学代数几何学家 Akhil Mathew；另一位是「在世界杯决赛期间还在干活的好朋友 fable」。

这条推文在短短几天内浏览量突破 500 万，田渊栋等知名学者纷纷转发评论。斯坦福数论学家 Jared Duker Lichtman 将这项工作的署名写作「Alpoge、Mathew 和 Claude Fable 5」。

反例为何足以击沉猜想

雅可比猜想问的是：如果一个多项式映射的雅可比行列式处处是同一个非零常数，那么整个映射是否一定是全局可逆的？也就是说，能否由任意输出反推得到唯一的输入，且反推公式仍为多项式。

微积分中的反函数定理已经表明，非零雅可比行列式意味着局部可逆。猜想试图追问的是：局部条件能否撑起全局结论。要否定这一猜想，只需找到一个「局部处处可逆、但全局不可逆」的具体反例。

Alpoge 给出的映射在每个点都满足雅可比行列式为 -2，符合猜想的所有前提条件。然而，三组完全不同的输入被映射到同一个输出，这恰好违反「全局单射」的要求——而单射是可逆的必要前提。由于反例只需代入数值即可验证，门槛极低，多位数学家已在数小时内使用 Wolfram Alpha 复算并确认关键数值。

一个绕不开的问题：为何以前没人找到

雅可比猜想 85 年未被推翻，为什么这个反例现在才出现？

Hacker News 上的一种解释是「没人去找」。学术数学资源有限，研究者更倾向于追逐高价值的大定理，而这类一击毙命的低次反例，过去多由业余爱好者在闲余时间完成。近几年「一切皆可变现」的学术风气，进一步将这类无直接回报的智力探索边缘化。

另一种解释指向 Fable 5 本身：模型「读过」大量前人失败的证明尝试，那些针对多项式施加的种种约束，可能被模型以某种方式内化，并在作者反复提示与 Wolfram Alpha 验证的辅助下逼近到最终的式子。当然，这一说法目前仍是猜测。反对者的反驳也很直接：假证明是奔着「证明」方向去的，对「找反例」未必有帮助；更何况反例就是反例，无论由谁找到都一样。

绕不开的张益唐

这个故事里最戏剧性的部分其实与 AI 无关。据 Lichtman 梳理，雅可比猜想的一个特例，正是张益唐博士论文期间的课题。当年导师让他在一个已知引理之上展开工作，而那个引理后来被发现是错的，整篇博士论文随之坍塌。

论文垮掉后，张益唐拿不到足够的推荐信，多年辗转于各类工作之间，直到四十多岁才获得稳定的学术职位。但他最终证明了素数间隔有界的里程碑结果，被视为现代数学最励志的翻身故事之一。

四十年后，曾在张益唐学术生涯起点绊倒他的猜想，在世界杯决赛夜被一位数学家外加一个大模型给终结了。

尚待正式同行评审

需要指出的是，截至本文发稿，这一结果尚未经过正式的同行评审。维基百科词条已就这次讨论进行过反复修改，目前倾向于认可推文中的证明。

但反例的验证门槛极低：它不是一个需要专家逐行审查的长篇证明，而是一个可手工代入的具体函数。在正式论文缺位的情况下，社区仍愿意在数小时内认真对待。不过「大家都算过、看起来对」与「已被学界正式接受」之间仍存在距离。

围绕它的后续问题也已浮现：猜想的某个「修补版」是否仍能幸存？社区中流传着一个据称来自 OpenAI 模型的提议——若补上「排除无穷远处退化」的条件，猜想或许仍成立。这个补丁版本是真能被证明，还是又一个等着崩塌的死胡同，目前无人知晓。

一个更大的问题

把这件事放入更长脉络中，它是最近一连串结果中的最新一桩：前沿模型正从竞赛题与智力游戏，走向真实的开放问题。不久前，还有 AI 系统被报道解决了多个悬置数十年的 Erdős 问题，并生成了机器可验证的形式化证明。

雅可比猜想这个例子的特殊之处在于：它不是在已知题库上刷分的形式化证明搜索，而是一位在职数学家将模型视为研究协作者，针对一个有名有姓、悬了几十年的具体猜想，反向「猎杀」一个反例，然后以一条推文的形式不声不响地发布。

围绕它的争论或许比反例本身更值得追问：当模型开始参与真实的数学发现，它究竟是在「检索」人类已有的智慧，还是在「创造」新的东西。