菲尔兹奖得主Gowers：AI数学突破主要靠「找反例」

1998年菲尔兹奖得主、英国数学家 Timothy Gowers 最近撰文指出，最近几个月AI在数学领域最轰动的几项突破，画风高度统一：模型最擅长的并不是铺开一套正面证明，而是先琢磨怎么把猜想推翻、从巨大的数学对象空间里「薅」出一个反例。

几场标志性突破都指向同一模式

Gowers 梳理了近期AI最具影响力的数学成果，发现它们几乎都可以被压缩成一句机器友好的话：「有没有这么一个东西？」

• Erdős 单位距离问题：OpenAI 内部模型花了大量推理预算尝试为某个长期被相信的增长判断构造反例，最终用代数数论的工具在离散几何中造出一整族点集，使单位距离对的数量以预期之外的速度增长，直接击穿了数十年的判断。
• 雅可比猜想相关问题：数学家 Levent Alpöge 借助 Claude 找到了反例，只需要把那个特殊对象端上来，逐项检查前提满足而结论失败，整条猜想就可以收工。
• 非 sofic 群问题：AI 给出的突破方式同样是直接构造出一个非 sofic 群。
• 多色 Ramsey 数问题：虽然最终呈现为严格下界证明，但突破过程仍带有强烈的构造意味，先找到足够特殊的组合对象，后面的证明才有落脚点。

Gowers 强调，这与学生时代学的反证法并不完全相同：反证法是先假设结论不成立再推出矛盾，而AI做的是直接拿出一个满足前提但不满足结论的具体对象，把猜想一次性终结。

AI 为什么擅长这种任务

Gowers 给出的解释相当朴素，大模型至少有两个肉眼可见的优势。

第一，知道得多。 大模型的训练语料中已经躺着大量相邻领域的工具与技巧，跨领域组合的成本天然很低。单位距离问题长期属于离散几何与组合数学语境，AI 却搬来了更偏代数数论的工具，这种跳跃对人类研究者来说往往需要恰好同时懂两边。

第二，试得起。 OpenAI 最近公布的 10 项数学与理论计算机科学成果中，找数学反例消耗的全部 token，按 API 价格折算仅「数千」美元。很多对人类数学家来说成功率太低、不值得烧几个月的路线，AI 完全能放开试。

人类数学家找反例的传统路径包括：拿祖传经典对象挨个测、对基础对象取积取商取极限换构造、从某个分布随机挑对象、用逐步逼近法一版一版修补。这些「大量试对象、换构造、随机搜索」的玩法，对知识库够大、速度够快、失败成本又低的大模型来说，几乎是量身定做。

AI 当前的局限：还缺「鼻子」

不过 Gowers 并没有因此神化 AI。他指出，越往后越考验一种很难写进公式的能力：在搜索树刚长出一堆分叉时，迅速砍掉 99% 的枝条，只保留最值得投入的几根。他把这种能力称作数学家的「鼻子」。

他与 AI 讨论开放问题时常遇到一种尴尬：AI 会提出听起来很有前景的方案，细想后并不可靠，却很爱说「虽然没解出原题，但我把问题缩小成了一个更精确的子问题」。第一次听确实兴奋，第五次还停在不同版本的更精确子问题时，人类数学家就要犯嘀咕了：这到底是在逼近答案，还是把迷路描述得越来越优雅？

Gowers 认为，AI 当前的强项更像「广度优先」：广泛调用已有知识、广泛探索可能路径、在海量尝试中碰出解法。他预计模型会继续快速进步，一两年内可能长出更强的「鼻子」。

Gowers 提出的浪漫验收标准

Gowers 给 AI 真正进入顶级数学创造阶段设下了一个相当高的验收标准：AI 给出的解法不光要把题做出来，还要冒出一种大家从没想过的新方法；更妙的是，这方法回头一看又特别顺，能被其他数学家接着拿去做出一串新成果。到了那一步，AI 完成的事情就远远超出从巨大搜索空间里把答案薅出来，它在数学界的身份可能才真的变了。

参考链接：gowers.wordpress.com